Cơ sở lý thuyết

Trước khi thực hiện bất kỳ phép tính nào, chúng ta phải đảm bảo rằng nỗ lực tìm kiếm của mình không vô ích. Chúng ta bắt đầu với Bài toán giá trị ban đầu (IVP):

$$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$$

Định lý 2.4.2 nêu rằng tồn tại duy nhất một nghiệm $y = \phi(t)$ của bài toán đã cho trong một khoảng nào đó xung quanh $t_0$. Sự đảm bảo này hợp lý hóa mục tiêu tính toán của chúng ta; nếu không tồn tại nghiệm hoặc nghiệm không duy nhất, các thuật toán của chúng ta có thể hội tụ về những điều vô nghĩa hoặc phân kỳ hoàn toàn.

Cầu nối tích phân

Hầu hết các phương pháp số đều chia sẻ cùng một nền tảng toán học, được suy ra từ Định lý cơ bản của giải tích. Chúng ta có thể biểu diễn sự tiến triển của nghiệm $\phi(t)$ từ điểm này sang điểm tiếp theo dưới dạng một đẳng thức chính xác:

$$\phi(t_{n+1}) - \phi(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} \phi'(t) dt$$

Bằng cách thay thế phương trình vi phân $\phi'(t) = f(t, \phi(t))$, ta thu được Công thức phục hồi:

$$\phi(t_{n+1}) = \phi(t_n) + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, \phi(t)) dt$$

Từ liên tục đến rời rạc

Một máy tính không thể tính toán tích phân của một hàm số chưa biết $\phi(t)$. Do đó, chúng ta rời rạc hóa. Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta xấp xỉ diện tích dưới đồ thị $f(t, \phi(t))$ bằng một hình chữ nhật có chiều rộng $h = t_{n+1} - t_n$ và chiều cao lấy tại điểm khởi đầu $f(t_n, y_n)$. Bước nhảy từ một tích phân cong thành một hình chữ nhật tô đậm (như minh họa ở Hình 8.1.1) tạo ra công thức Euler: